Struktura

Přechodová charakteristika integračního a derivačního dvojbranu

Přechodová charakteristika integračního a derivačního dvojbranu

 

Definice

Derivační článek (derivátor) je elektrotechnický obvod, který provádí matematickou funkci derivování napětí na výstupu je derivací napětí na vstupu podle času.

Integrační článek (integrátor) je elektrotechnický obvod, který provádí matematickou funkci integrování – napětí na výstupu je integrálem napětí na vstupu podle času.

obrazek

Obr. 1: Derivační článek

 

obrazek

Obr. 2: Integrační článek

Derivační a integrační článek obsahuje nejméně jednu kmitočtově závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor, či cívku. Aktivní elektronický derivátor i integrátor obsahuje operační zesilovač s rezistorem a kondenzátorem. Derivační článek má frekvenční charakteristiku horní propusti – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí roste, integrační článek má naopak frekvenční charakteristiku dolní propusti – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí klesá. V odborné literatuře jsou tyto obvodové prvky označovány také jako články, čtyřpóly, dvojbrany či filtry.

  • Napěťový přenos

Napěťový přenos A je důležitou charakteristickou veličinou těchto obvodů. Je definován vztahem: A = U2 / U1.
U1 je vstupní a U2 výstupní napětí členu.

Pro integrační článek platí:

  • Přenosová charakteristika

Grafická závislost absolutní hodnoty přenosu napětí na frekvenci se nazývá přenosová charakteristika. Přenos se vyjadřuje obvykle v decibelech:

,

Přenos napětí pro integrační člen RC lze vypočítat ze vztahu:

,

kde ω je kruhová frekvence střídavého proudu, C je kapacita kondenzátoru a R ohmický odpor rezistoru. Pokud je ω.C.R « 1, je napěťový přenos přibližně roven jedné. Jestliže ω.C.R = 1, pak pro poměr napětí platí:

.

V tomto případě činí útlum -3dB. Tomuto poměru napětí odpovídá kmitočet, který se nazývá mezní (kritický) a lze jej vyjádřit vztahem:

.

Po dosazení do vztahu pro A můžeme výraz upravit do podoby:

,

kde f je libovolná frekvence střídavého proudu. Pokud je ω.C.R»1, neboli f > fm, je přenos napětí výrazně menší než jedna. Tohoto jevu se používá k filtraci. Integrační člen RC působí jako dolní propust (horní zádrž). Od mezního kmitočtu jsou vyšší frekvence postupně stále více omezovány.

Derivační článek:

U derivačního členu RC je tomu naopak. Absolutní hodnotu přenosu lze vyjádřit vztahem:

.

Dosažené frekvence jsou v obráceném poměru. Napěťový přenos menší než jedna nastává pro f < fm. Derivační člen proto působí jako horní propust (dolní zádrž). Od mezního kmitočtu jsou nižší frekvence stále více potlačovány.

Výše uvedený popis platí pro ideální impedanční přizpůsobení vstupů i výstupů těchto členů. Zdroj signálu má nulový vnitřní odpor, výstup článku je nezatížen. Názvy článků jsou odvozeny od jejich chování při aplikaci obdélníkových napěťových pulzů.

 

Přechodové charakteristiky integračního a derivačního článku

obrazek

Obr. 3: Přechodové charakteristiky integračního a derivačního článku

Na obr. 3 jsou uvedeny časové průběhy napětí na vstupu a výstupu integračního (vlevo) a derivačního článku pro různé časové konstanty obou článků.

V prvním případě byla nastavena časová konstanta článku na hodnotu 1/2 τ, potom  τ a nakonec  2 τ. Vhodné je měnit časovou konstantu velikostí odporu rezistoru v článku. τ=RC nebo τ=L/R. Při větší hodnotě odporu se kondenzátor nabíjí pomaleji.

  • Komplexní přenos

Komplexní přenos derivačního článku se dá vyjádřit vztahem:

,

kde τ = RC pro obvod s rezistorem, pro obvod s cívkou platí τ = L/R.  F je komplexní číslo a má stejný význam jako A.

Na derivačním článku dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv snižuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence 0°. U frekvence, při které dochází k poklesu napětí −3 dB (AU = 0,707), je fázový posuv roven 45°. Komplexní přenos se dá vyjádřit jako amplitudová-fázová frekvenční charakteristika v komplexní rovině, nebo se rozdělí na dvě samostatné charakteristiky, útlumovou a fázovou.

  • Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika derivačního článku

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem se dá vyjádřit vztahem:.

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20dB/dek, která protíná osu x v bodě ω0 = 1/RC (na obr. černě). Je-li ωRC»1, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat, a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomovém kmitočtu ω0, která klesá se strmostí -20dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a cívkou se dá vyjádřit vztahem:.

.

Obr. 4: LAFCH derivačního článku

  • Komplexní přenos integračního článku

Komplexní přenos integračního článku se vypočítá podle vztahu:

,

kde τ = RC pro rezistor, pro cívku τ  = L/R.

Na integrátoru dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je opět závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv zvyšuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence -90°. U frekvence, při které dochází k poklesu napětí −3 dB (AU = 0,707), je fázový posuv roven -45°. Komplexní přenos je fázor. Dá se vyjádřit jako amplitudová-fázová frekvenční charakteristika v komplexní rovině, nebo se rozdělí na dvě samostatné charakteristiky, útlumovou a fázovou.

  • Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika integračního článku

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a kondenzátorem se dá vyjádřit vztahem:

.

První člen LAFCH je roven nule. Je-li ωCR»1, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat, a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ω0 která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a cívkou je:

.

První člen LAFCH je roven nule. Je-li ωL/R»1, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ω0 která klesá se strmostí -20 dB/dek.

obrazek

Obr. 5: LAFCH integračního článku

  • Fázová frekvenční charakteristika

Fázová frekvenční charakteristika se dá vyjádřit vztahem:

.

Pro RC článek φ(ω) = - arctg(ωRC),

pro RL článek:

 

Každému zlomu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky o -20 dB/dek (resp. + 20 dB/dek) odpovídá posun fáze o -90° (resp. +90°).

 

Zdroje

  • BRINDL, Pavel. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.
  • AUTOR NEZNÁMÝ. Kapacita, induk č nost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka [online]. [cit. 24.5.2015]. Dostupný na WWW: http://www.isibrno.cz/~joe/elektronika/elektronika_3.pdf

Obrázky

  • Obr. 1: BRINDL, Pavel. Derivační článek. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.
  • Obr. 2: BRINDL, Pavel. Integrační článek. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.
  • Obr. 3: BRINDL, Pavel. Přechodové charakteristiky integračního a derivačního článku. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.
  • Obr. 4: BRINDL, Pavel. LAFCH derivačního článku. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.
  • Obr. 5: BRINDL, Pavel. LAFCH integračního článku. VY_32_inovace_03_ELE_3_ Elektronické obvody_01_ Přechodové jevy v lineárních obvodech. Přerov, 2013.

 

Logolink