Struktura

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace

V teorii automatického řízení je Laplaceova transformace účinným nástrojem při popisu chování spojitých lineárních obvodů. Usnadňuje řešení lineárních diferenciálních rovnic.

Laplaceova transformace převádí funkce reálné proměnné t (časové funkce) na funkce komplexní proměnné tzv. operátoru s=α+ (používá se i označení p). Časovou funkci označujeme jako originál, transformací získáme obraz. Umožňuje převést diferenciální rovnici n-tého řádu na algebraickou n-tého stupně a vytvoření obrazového přenosu jako jednoho ze způsobů vyjádření dynamických vlastností.

Transformace časové funkce f(t) na funkci komplexní proměnné F(s)se provádí pomocí definičního integrálu Laplaceovy transformace:

obrazek

kde f(t) je originál a F(s) je obraz.

Příklad 1.

Vypočítejte Laplaceův obraz jednotkového skoku 1(t).

Jednotkový skok je definován

obrazek

obrazek

 Obr. 1: Jednotkový skok

obrazek

Příklad 2.

Vypočítejte Laplaceův obraz exponenciální funkce . obrazek

obrazek

V praxi využijeme pro získání obrazu funkce slovník Laplaceovy transformace, ve kterém najdeme obrazy často se vyskytujících funkcí.

Ve slovníku zjistíme, že derivování se převádí na násobení operátorem s:

               originál                                                      obraz

obrazek

Postup při použití Laplaceovy transfomace:

Diferenciální rovnici (originál) převedeme pomocí slovníku na obraz, úlohu řešíme v obraze a pokud je to vyžadováno, tak výsledek převedeme zpětnou Laplaceovou transformací L-1 do originálu, opět s využitím slovníku.

obrazek

 

   Obr. 2: Postup při použití Laplaceovy transformace

 

Zdroje

  • BALÁTĚ, Jaroslav. Automatické řízení. 2. přepracované vyd. Praha: BEN – technická literatura, 2004, 664s. ISBN 80-7300-148-9.
  • VORÁČEK, Rudolf, František ANDRÝSEK, Zdeněk BRÝDL, Luděk KOHOUT a Ladislav ŠMEJKAL.  Automatizace a automatizační technika II. 1. vyd. Praha: Computer Press, 2000, 218s. ISBN 80-7226-247-5.

Obrázky

Historie

Content pierre laplace

Obr. 3: Pierre Laplace

Pierre Simon de Laplace (23. 3. 1749 - 5. 3. 1827) byl francouzský matematik, fyzik, astronom. Zabýval se matematickou analýzou, teorií pravděpodobnosti, nebeskou mechanikou, je autorem teorie vzniku sluneční soustavy z rotující mlhoviny.

Kontrolní otázka

K čemu slouží Laplaceova transformace?

Kontrolní otázka

Co je časová funkce?

Kontrolní otázka

Jak označujeme nezávisle proměnnou v transformovaných funkcích?

Kontrolní otázka

Jak se projeví v transformaci první a druhá derivace?

Kontrolní otázka

Co obsahuje slovník Laplaceovy transformace?

Kontrolní otázka

Jak postupujeme při řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy transformace?

Logolink